等式问题的不等式求解策略 不等式是等式吗

摘 要：等与不等是数学问题中矛盾的两个方面，它们在一定条件下可以互相转化。很多数学问题表面上看只是相等的数量关系，根据这些相等的关系难以解决，但若能挖掘其中的不等量关系，则解途畅通，水到渠成。关键词：等式；不等式；构造；不等量关系中图分类号：G630 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2012）-12-0151-01等与不等在现实世界中广泛存在，它们既对立又统一，可以相互转化。在数学问题中，建立不等式相对容易，因此可以考虑将一些复杂的等式问题转化为不等式问题解决。本文通过几个典型例子，谈谈等式问题的不等式求解策略。一、利用均值不等式构造不等量关系例1 设x>0，y>0，2x2++，求x+y的值分析：该题从表面上看，一个方程两个未知数，似有“条件不足”之感，若注意到2x2··=1，联想均值不等式则会“柳暗花明”。解：由3=2x2++≥3=3知等号成立，根据三元均值不等式取等号的条件得2x2==，解得x=，y=，∴x+y=二、利用判别式构造不等量关系例2 若x，y为实数，且x2+xy+y2-3x-3y+3=0，求x2+y2的值。分析：该题乍看起来不知如何入手，但若将x2+xy+y2-3x-3y+3=0看作关于y的一元二次方程，通过y有实数解，运用判别式大于等于零这个不等式可求x，进而使问题得以解决。解：把x2+xy+y2-3x-3y+3=0看作关于y的一元二次方程，有y2+（x-3）y+（x2-3x+3）=0∵x∈R∴△=（x-3）2-4（x2-3x+3）=-3（x-1）2≥0∴x=1，代入已知条件得y=1.∴x2+y2=2三、利用非负数的和构造不等量关系例3 已知x∈R，y∈R，x2y2-2xy+x2+4x=-5求x，y的值.分析：一个方程两个未知数如何解决，还是条件不足，但是通过整理x2y2-2xy+x2+4x=-5，可得两个平方式子之和等于零，联想非负数的和恒大于等于零这个不等式，可求x，y的值。解：由已知得x2y2-2xy+x2+4x+5=（xy-1）2+（x+2）2=0∵（xy-1）2≥0，（x+2）2≥0∴xy-1=0，x+2=0解得x=-2，y=-.四、利用绝对值的性质构造不等量关系例4 解方程-x+=x分析：将移项后，比较等式两边的形式，发现=形式，联想到不等式≤0，使等式问题得以迅速解决。解：原方程可化为-x=x-该方程形如=，此时只有当≤0才能成立，故-x≤0，解得x≥.五、利用柯西不等式构造不等量关系例5 若cos+2sin=-，求tan的值。分析：由已知等式及cos2+sin2=1联想到柯西不等式，考虑利用柯西不等式进行转化。解：5=（cos2+sin2）（12+22）≥（cos+2sin）2=（-）2=5，上式等号成立，其充要条件是=，即tan=2.由以上几例不难看出，某些难于用常规法处理的等式问题，构造不等式，利用不等式中等号成立的条件处理等式问题，可使问题解决得简洁明快，干净利落。

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