专家门诊,药到病除――数列_药到病除

　　错解与正解是一对孪生兄弟，常会与我们的学习相伴而行；错解又是一把双刃剑，有时会让我们为之而懊恼，有时却又能使我们更为清醒地认识到学习中存在的不足，及时改正错误，从而正本清源，激励我们不断进步.在数列学习过程中，往往容易忽视数列的概念、性质、公式等方面的问题而导致错误．韩老师专门开设了“错解门诊”，就我们学习过程中的常见错解症状加以展示，进而剖析症结所在，开出相应的方子，真正达到药到病除．
　　 一、项数问题出错
　　 数列的项数问题是一个数列确定性的表现．在数列构成过程中，对应数列的项要非常明确，不同的对应关系对应不同的数列，只有确定与分清确定项与确定数之间的关系，才能唯一确定相应的数列．
　　 【例1】将全体正整数排成三角形数阵：
　　 1
　　 2 3
　　 4 5 6
　　 7 8 9 10
　　 11 12 13 14 15
　　 ………………
　　根据以上的排列规律，第n（n≥3）行从左向右第3个数是________．
　　 症状展示：前n行共有正整数1+2+…+n个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第+3个，即为，故答案为：．
　　 症结剖析：图表信息中具体位置对应的数与数列的项之间是一一对应，求解关键是如何根据图表信息求出行列式中对应项的通项公式．而在以上的求解过程中，在求在第n（n≥3）行上的数，应该是先计算前n－1行的项数，由于数列的项数理解不清而导致错误．
　　 药到病除：前n－1行共有正整数1+2+…+（n－1）个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第+3个，即为，故答案为：．
　　 专家点拨：对于数列的项数问题，关键是考查归纳推理、数列求和公式等相关基本知识，主要与逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力密切相关，平时练习时要细致分析，认真推理．
　　 二、通项公式出错
　　 数列的通项问题一般和概念直接相关，同时关键是确定数列的首项，以及对应的等差（或等比）数列的公差（或公比），结合公式加以解答．
　　【例2】将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
　　a1
　　 a2 a3
　　 a4 a5 a6
　　 a7 a8 a9 a10
　　 ……
　　 记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{bn}，b1=a1=1． Sn为数列{bn}的前n项和，且满足=1（n≥2）．证明数列{}成等差数列，并求数列{bn}的通项公式．
　　 症状展示：由已知，当n≥2时，=1.
　　 又Sn=b1+b2+…+bn，所以=1，即=1，所以－=，又S1=b1=a1=1，所以数学{}是首项为1，公差为的等差数列，由上可知=1+（n－1）=，即Sn=，所以bn=Sn－Sn－1=－=－．
　　 症结剖析：数列{an}的前n项和Sn=a1+a2+…+an与an的关系是：an=S1， n=1Sn-Sn-1， n≥2注意an=Sn－Sn－1适用的条件是n≥2．而在以上的求解过程中，在没有分析n=1的情况下，直接根据bn=Sn－Sn－1求出数列{bn}的通项公式显然是错误的．
　　 药到病除：由已知，当n≥2时，=1，又Sn=b1+b2+…+bn，所以=1，即=1，所以－=，又S1=b1=a1=1，所以数学{}是首项为1，公差为的等差数列，由上可知=1+（n－1）=，即Sn=，所以当n≥2时，bn=Sn－Sn－1=－=－，因此bn=1， n=1－. n≥2
　　 专家点拨：已知数列的前n项和Sn求an时，一般采用公式an=Sn－Sn－1，但要注意对a1是否满足an进行验证．
　　 三、公式应用出错
　　 在数列中，相应等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式中，要注意公式的前提条件与公式的特征，在公式应用中不能盲目使用，否则容易出错．
　　 【例3】 在等比数列{an}中，已知a3=，S3=，求a1与q．
　　 症状展示：症状1：由题意得a1q2=a3=，=S3=，
　　∴a1q2= …… (1)a1(1+q+q2)=……(2)
　　 由（2）÷（1）得=3，即2q2－q－1=0，
　　∴q=－或q=1，当q=－时，a1==6；当q=1时，a1=a3=．
　　 症状2：由题意得a1q2=a3=，=S3=，
　　∴a1q2=…… (1)a1(1+q+q2)=……(2)
　　 由（2）÷（1）得=3，即2q2－q－1=0，∴q=－或q=1，
　　 由于q=1时不合公式，故舍去，∴a1==6．
　　 症结剖析：注意公式利用中所隐含的一些特定的条件，特别是等比数列前n项和公式中所包括的条件，要加以正确区别与判断．症状1中错在使用公式Sn=时，忽略了q≠1这个条件．故所求出的q=1是增根，应予舍去；症状2中错在不全面展开讨论．在利用公式时求出q=1是增根应舍去，其前提条件是q≠1，而当q=1时是否也满足题意，应再加以讨论．
　　 药到病除：（Ⅰ）当q=1时，a1=a2=a3=，S3=3a1=，显然成立.
　　 （Ⅱ）当q≠1时，由题意得a1q2=a3=，=S3=，
　　∴a1q2=…… (1)a1(1+q+q2)=…… (2)
　　 由（2）÷（1）得=3，即2q2－q－1=0，
　　∴q=－或q=1，
　　 由于q=1时不合公式，故舍去，∴a1==6.
　　 综上所述，当q=1时，a1=；当q=－时，a1=6．
　　 专家点拨：在利用等比数列的前n项和公式中，一定要注意对公比q是否为1的情况的分析与分类讨论．往往还要注意公式中数值的数列特征与限制条件的应用等．
　　 四、限制条件出错
　　 数列的条件问题关键是根据公式中隐含条件、题设中给出的条件等的应用．比如等比数列中的各项均不为零、等比数列的公比是否为1等隐含条件，题设中对各参数条件的限制等，在实际解答时要加以考虑．
　　 【例4】已知等差数列{an}的通项公式为an=25－5n，求数列{|an|}的前n项和Tn．
　　 症状展示：症状1：因为an=25－5n，所以an+1－an=25－5（n+1）－（25－5n）=－5，a1=20，
　　 所以数列{|an|}是以a1=20为首项，公差为－5的等差数列，所以Tn=20n+×（－5）=n－n2.
　　 症状2：由an=25－5n≥0，解得n≤5，所以数列{an}的前5项为非负，从第6项起为负，所以Tn=a1+a2+a3+a4+a5=50（n≤5），
　　 当n≥6时，Tn=|a6|+|a7|+…+|an|=－（a6+a7+…+an）=－=，
　　 所以数列{|an|}的前n项和Tn=
　　50, n≤5. n≥6
　　 症结剖析：在症状1中，错误地把数列{|an|}的前n项和Tn理解成数列{an}前n项和Sn，忽视了题目中的条件的存在；在症状2中，当n≤5时，错误地把Tn的值理解成n=5时对应的值，而当n≥6时，没理解好条件Tn表示前n项和，而只是错误地理解成“从n≥6”起的和．
　　 药到病除：由an=25－5n≥0，解得n≤5，所以数列{an}的前5项为非负，从第6项起为负，
　　 当n≤5时，Tn=20n+×（－5）=n－n2，
　　 当n≥6时，Tn=a1+a2+a3+a4+a5+|a6|+|a7|+…+|an|=50－（a6+a7+…+an）=50－=，所以数列{|an|}的前n项和Tn=n－n2， n≤5. n≥6
　　 专家点拨：把握住题目中隐含的条件或题设中的条件，正确加以分析并根据不同情况加以必要的分类，结合对应的公式加以分析求解．不要视条件而不顾，容易导致错误．
　　 五、参数设置出错
　　 数列的参数问题是结合题目中参数的条件加以设置与分析，往往要对参数的不同取值情况加以分类讨论，从而适用不用的公式或条件加以解答问题．
　　 【例5】成等比数列的四个数之积为16，中间的两个数的和为5，则该数列的公比q的取值为________．
　　 症状展示：设这四个数为，，aq，aq3，由题意得a4=16 …… (1)+aq=5 …… (2)
　　 由（1）得a=±2，代入（2）得q=±或q=±2，
　　 则q2=或q2=4，故所求的公比为或4，即填答案：或4．
　　 症结剖析：错解中设等比数列的公比为q2是不合理的，这相当于增加了四个数同号这个条件，而题设中的四个数不一定同号．设置参数要与原来题目中的条件保持一致，否则容易产生增解或漏解现象．
　　 药到病除：设这四个数为a，aq，aq2，aq3，则a・aq・aq2・aq３=１６，aq＋aq2=5，
　　解之得q=4或或或－，
　　 故填答案：q=4或或或－．
　　 专家点拨：设置参数解决相应的数列问题时，一定要保持原题目的条件不改变．有时也往往要根据参数的情况加以分类讨论等，做到条理清晰是关键．
　　 六、混合问题出错
　　 等差数列与等比数列是数列的两种特殊数列，它们有着各自的概念、性质、公式等，在实际应用中，经常会碰到两者之间的交汇与混合问题．关键是正确确定相应的部分，并利用对应的性质与公式加以求解．
　　 【例6】 一个数列{an}，当n为奇数时，an=5n+1；当n为偶数时，an=2．这个数列的前2m项之和为多少？
　　 症状展示：当n为奇数时，由于an+1－an=5（n+1）+1－（5n+1）=5，且a1=6，所以{an}是以a1=6为首项，公差d=5的等差数列.
　　 当n为偶数时，由于==，且a1=2=，所以{an}是以a1=为首项，公比q=的等比数列.
　　 由此得S2m=a1m+d+=－（1+）[1－（）m]．
　　 症结剖析：将原数列分成由奇数项和偶数项组成的两个数列来处理的思路是正确的．但错误在于把奇数项组成的数列的相邻两项误认为是an与an+1，把偶数项组成的数列的首项误认为是a1，且相邻两项误认为an与an+1．
　　 药到病除：当n为奇数时，相邻两项为an与an+2，由an=5n+1得an+2－an=5（n+2）+1－（5n+1）=10，且a1=6，所以{an}中的奇数项构成以a1=6为首项，公差d=10的等差数列；
　　 当n为偶数时，相邻两项为an与an+2，由an=2得===2，且a2=2，所以{an}中的偶数项构成以a2=2为首项，公比q=2的等比数列.
　　 由此得S2m=6m+×10+=5m2+m+2m+1－2．
　　 专家点拨：在数列问题中，经常会碰到同一个数列中部分是等差数列，部分是等比数列的问题，要对其加以合理分类与分析，从而得以正确解答．
　　 数列是中学数学的一项重要内容，是进行计算、推理等基本训练、综合训练的重要题材，考查重点是等差、等比数列的定义、通项公式、前几项和公式、等差（比）中项及等比等差数列的性质的灵活运用，在实际解题过程中，往往容易忽视数列的概念、性质、公式等方面的问题而导致错误．注意这一部分主要考查运算能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力，其中考查思维能力是支柱，运算能力是主体，应用是归宿．
　　责任编校 徐国坚
　　

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