【数形结合中的几个“功能键”】车里有几个加热功能键

　　“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，“以数觅形，以形助数”通常能使问题的解决更直观、更简捷. 高考题中一些具有几何背景的数学关系或数学结构，如果能通过构造与之相应的图形进行分析，往往事半功倍. 现举例说明如下，希望能对同学们有所帮助.
　　一、 数形结合破解函数零点
　　例1 （2011年新课标全国卷）函数y＝■的图象与函数y＝2sinπx（－2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）
　　A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
　　解析 当x＝■时，y＝■＝2；
　　当x＝■时，y＝■＝-2.
　　两函数图象如右图所示，可知有8个交点，且关于点（1，0）对称，所以所有交点的横坐标之和为8.
　　故选D.
　　点评 此题考查函数的图象、函数图象的交点及函数的对称性问题. 题中两个函数都是中心对称图形，结合函数的图象解题，直观易懂，可简化运算过程.
　　二、 数形结合解读新信息
　　例2 （2011年天津文科卷）对实数a和b，定义运算“?茚”：a?茚b=a，a-b≤1，b，a-b>1.设函数f（x）=（x2-2）?茚（x-1），x∈R. 若函数y=f（x）-c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（ ）
　　A. （-1，1］∪（2，+∞） B. （-2，-1］∪（1，2］
　　C. （-∞，-2）∪（1，2］ D. ［-2，-1］
　　解析 f（x）＝x2-2，x2-2-（x-1）≤1x-1，x2-2-（x-1）>1
　　 =x2-2，-1≤x≤2，x-1，x2.
　　则f（x）的图象如右图所示.
　　∵ 函数y＝f（x）－c的图象与x轴恰有两个公共点，
　　∴ 函数y＝f（x）与y＝c的图象有两个交点，由图象可得
　　－2b>c B. b>a>c C. a>c>b D. c>a>b
　　解析 令m=log23.4，n=log43.6，l=log3■，在同一坐标系中作出三个函数的图象如右图.
　　由图象可得m>l>n.
　　又∵ y=5x为单调递增函数，
　　∴ a>c>b.
　　故选C.
　　点评 本题主要考查指数函数单调性的应用、对数式的大小比较，一般是利用指数函数单调性进行比较. 对数式的比较类似指数式比较，也可以寻找中间量. 相对来讲，数形结合要简单一些.
　　五、 数形结合模型化
　　例5 （2011年江西卷）如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点. 那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M、N在大圆内所绘出的图形大致是（ ）
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　解析 由运动过程可知，小圆圆心始终在以原点为圆心，0.5为半径的圆上运动.
　　当小圆运动到两圆相切于P点时，则小圆与大圆的切点P转过的弧长PA长度等于弧PM.
　　过小圆圆心B作BF垂线MP，设转动角度为∠AOP=β，
　　则大圆弧长PA=1×β.
　　∵ 小圆弧长PM=0.5×∠MBP，
　　且 ∠MBP=2β，
　　则∠MBF=β，则∠MBF=∠FBP=∠POA，
　　∴ BF∥OA，则MP平行y轴.
　　又∠PMB=∠BNO，
　　∴ ON∥MP，
　　∴ ON∥y轴，则N点在y轴上.
　　又BF为△PMO的中位线，
　　∴ BF∥OM，则OM∥OA，
　　∴ M点在x轴上.
　　故点M、N在大圆内的最终运动轨迹为选项A所示.
　　故选A.
　　点评 许多数学问题可以通过构造几何模型、构造函数式、构造图表等来解决. 函数的图象为数形结合带来了便利条件，从图象上寻找突破口常常是解决问题的关键，如果方程自身或方程两边的表达式有明显的几何意义，可以把抽象的数量关系转化为图形来解决. 这种模型化的处理方法在判断方程解的个数（不是求方程根的具体值）时显得十分简单、直观.
　　六、 借用数形结合巧解集合题
　　例6 有41名学生参加数、理、化三科竞赛，其中不及格的人数为：
　　
　　
　　
　　
　　试问有多少学生三科都及格？
　　解析 本题可借助韦恩图来解.
　　如右图，由题意可知，总人数41人，即可得三科及格的人数为：41-15=26（人）.
　　点评 本题若用代数的方法来解，比较抽象，较难获得答案，但若借助韦恩图来解，则答案一目了然，既直观又好理解.
　　七、 借用数形结合巧求最值
　　例7 求函数y=■的最值.
　　解析 令u=■，v=■， 则■+■=1 （0≤u≤2，0≤v≤■）. （*）
　　构造椭圆曲线，则函数y表示椭圆（*）（第一象限部分，包括M1、M2）上一点M（u，v）与点A（-2，-■）这两点连线的斜率.
　　MA的斜率范围是■≤y≤■，即
　　当x=1时，ymax=■；
　　当x=2时，ymin=■.
　　点评 从形式上来讲，本题属于代数问题. 函数的最值较难求解，本题可根据代数式的特点，通过换元法和构造法，把问题转化为椭圆曲线上的动点与定点A连线的斜率范围问题.
　　（编辑 孙世奇）

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