高中数学曲线方程公式【用零点分断法判别曲线方程类型】

　　研究一个二元二次方程所表示的曲线类型，需要进行分类讨论，而在实际操作中，不少学生往往分类不全、顾此失彼．本文结合数轴，介绍一个零点分断法，可快速地解决此类问题． 　　�我们知道，一个二元二次方程所表示的曲线类型取决于各项系数及常数项，因此，判别曲线方程类型的关键应是确定不同曲线的参数临界值，而参数临界值即参数的零点可用这样的方法来确定：�
　　（1）分别令二次项系数、一次项系数及常数项为0，求得参数临界值；�
　　（2）令x�2及y�2的系数相等，求得参数临界值.�
　　然后把这些参数的临界值，也即参数的零点标在数轴上，结合数轴进行分类讨论．这样用零点分断法，能使分类完整又互斥、直观又简便．以下几例，可见一斑．�
　　【例1】 已知方程mx�2+2y�2=m+1(m∈R)，对于不同范围里的m值，试指出其所代表的图形．�
　　
　　解:m的零点值为0、2、-1．将它们标在数轴上，如图1．�
　　
　　（1）当m＜1时，表示焦点在x
　　轴上的双曲线；�
　　（2）当m=-1时，表示两条相交
　　直线y=±22x；�
　　（3）当-1＜m＜0时，表示焦点在y轴上的双曲线；�
　　（4）当m=0时，表示两条平行直线y=±22；�
　　（5）当0＜m＜2时，表示焦点在x轴上的椭圆；�
　　（6）当m=2时，表示圆x�2+y�2=32；�
　　（7）当m＞2时，表示焦点在y轴上的椭圆．�
　　【例2】 如图2，已知A、B是圆x�2+y�2=1上的动点，∠AOB=120�°�，C(a,0)(a≥0且a≠1)是定点，当点A在圆上运动时，指出△ABC外接圆圆心M的轨迹方程并讨论方程表示的曲线类型与a的取值关系．�
　　解:连结MA、MC、MO、MB，则MA=MC=MB，
　　
　　MO垂直平分线段AB．所以∠AOM=60�°�．设M(x,y)，
　　则�|OM|=�x�2+y�2，|MA|=|MC|=(x-a)�2+y�2，
　　�|OA|�=1．
　　�在△OAM中，由余弦定理得|MA|�2=|OM|�2
　　+�|OA|�2-2�|OM|・|OA|・�cos�∠AOM，代入整理，得
　　x�2+y�2=2ax+1-a�2，�
　　即(1-4a�2)x�2+y�2-4a(1-a�2)x=(1-a�2)�2．�
　　注意到a≥0且a≠1，令1-4a�2=0，得a=12；
　　令1-4a�2=1，得a=0；令-4a(1-a�2)=0
　　，得a=0．将它们标在数轴上，如图3．�
　　
　　（1）当a=0时，方程表示圆x�2+y�2=1；�
　　（2）当0＜a＜12时，方程表示椭圆的一部
　　分(x＞a�2-12a)；�
　　（3）当a=12时，方程表示抛物线y�2=32x+916；�
　　（4）当a＞12且a≠1时，方程表示双曲线的一部分(x＞a�2-12a)．�
　　
　　【例3】 已知向量�OA�=(2,0),�OC�=�AB�=(0,1)，动点M到定直线y=1的距离等于d，并且满足�OM�・�AM�=k(�CM�・�BM�-d�2)，其中O是坐标原点，k是参数．求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型．�
　　解:设M(x,y)，则�OM�=(x,y),�AM�=(x-2,y)，�CM�=(x,y-1)，�BM�=(x-2,y-1)，d=|y-1|．结合�OM�・�AM�=k(�CM�・�BM�-d�2)，可得�
　　(1-k)x�2+2(k-1)x+y�2=0．�
　　令1-k=0，得k=1；令1-k=1，得k=0．将它们标在数轴上，如图4．�
　　
　　（1）当k＜0时，轨迹表示焦点在平行
　　于y轴的直线上的椭圆；�
　　（2）当k=0时，轨迹表示一个圆；�
　　（3）当0＜k＜1时，轨迹表示焦点在x
　　轴上的椭圆；�
　　（4）当k=1时，轨迹表示直线y=0；�
　　（5）当k＞1时，轨迹表示焦点在平行于y轴的直线上的双曲线．�
　　
　　【例4】
　　如图5，给出定点A(a,0)(a＞0)和直线l:x=-1．B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C．求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系．�
　　解:由题
　　可求得点C的轨迹方程为(1-a)x�2-2ax+(1+a)y�2=0 （0≤x＜a)
　　．�
　　令各系数分别为0，得a=1、0；令1-a=1+a
　　，得a=0．并注意到a＞0，
　　根据图6，有�
　　（1）当0＜a＜1时，轨迹为椭圆弧；�
　　（2）当a=1时，轨迹为抛物线段
　　y�2=x(0≤x＜1)；�
　　（3）当a＞1时，轨迹为双曲线一
　　支的弧段．�
　　【例5】 已知常数a＞0向量c=(0,a)，i=(1,0)，经过原点以c+λi为方向向量的直线与过定点A(0,a)，以i-2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.�
　　解:设P(x,y)，易得P点满足的条件为：2a�2x+y�2-ay=0.因a＞0，故得a的零点值为22.所以：�
　　（1）当0＜a＜22时，P点的轨迹为椭圆，其焦点E(1212-a�2,a2)，F(-1212-a�2,a2) 为所求的两定点；�
　　（2）当a=22时，P点的轨迹为圆，此时不存在符合条件的定点E、F；�
　　（3）当a＞22时，P点的轨迹为椭圆，其焦点E(0,�12a�+12a�2-12),F(0,12a-12a�2-12)
　　为所求的两定点.�
　　
　　(责任编辑 金 铃）

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