变换分析法例题及答案_浅谈变换与转化的思想在数学解题中的应用

　　【摘要】 数学的变换与转换就是将待解决或未解决的问题，通过转化或再转化，归结为一个已经能解决的问题，或归结为一个比较容易解决的问题，或归结为一个已为人们所熟知的既定解决方法和程序的问题，最终求得原问题的解决的思想方法。
　　【关键词】 变换与转化 数学 解题 应用
　　【中图分类号】 G427 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962（2012）11（a）-0085-01
　　变换与转换形式多种多样，在中学数学中常见有：
　　1 未知向已知转化
　　已知条件常含有丰富的内容，发掘其隐含条件，使已知条件朝着明朗的方向转化，如综合法，就是对一个未知的新问题，通过联想，转化为已知的途径；或从结论入手进行转化，如分析法。
　　例1已知求证 b2≥4ac
　　解：等式可化为则二次方程有实根，∴b2≥4ac
　　注：由已知条件提供了一个等式，充分挖掘隐含条件，把它转化为方程，使问题转化为一个一元二次方程根的讨论问题。
　　2 一般与特殊的相互转化
　　例2 F（θ）= sin2θ+sin2（θ+α）+ sin2（θ+β），其中α、β适合0≤α≤β≤π的常数，试问α，β为何值时，F（θ）为与θ无关的定值。
　　解：设F（θ）= sin2θ+sin2（θ+α）+ sin2（θ+β）是与θ无关的定值。
　　取θ =0，-α，-β，时依次得F（0）= sin2α+ sin2β① F（-α）= sin2α+ sin2（α-β）② F（-β）= sin2β+ sin2（α-β）③④，且有
　　由①②③sin2α= sin2β=sin2（α-β）⑤ 由①④sin2α+ sin2β=⑥
　　由⑤⑥sin2α= sin2β=sin2（α-β） =因0≤α≤β≤π
　　0≤α-β≤π则sin2α=sin2β=sin2（β-α）=
　　为定值
　　注：从上述解法启示，有些带有一般性问题，往往可以通过由一般转化为特殊来处理，当“特殊”解决之时，“一般”也随之解决了。
　　反之有些带有特殊性的问题，也可以转化为特殊性问题来处理。
　　3 数与形的转化
　　数形结合就是将抽象的数学语言与直观的图形相结合，它包括两方面，一是“以形助数”，即将“数”的问题借助于图形性质使之直观、形象；二是“以数辅形”，即将“形”的问题经过数量化处理，并借助计算。
　　例3 已知x≥1 y≥1 loga2x+loga2y= loga（ax2）+ loga（ay2） a≥1求函数w=logaxy的值域
　　解：设u=logax v= logay 得u2+ v2=2u+2v+2
　　即（u-1）2+（ v-1）2=22 x≥1 y≥1 u≥0 u≥0
　　它表示的图形为圆弧（见图1）w= logax+logay= u +v 则v =-u +w
　　w表示直线在轴上的截距，当u=0时，（ v-1） 2=4-1，v=+1
　　（负值不合舍去），圆心（1，1）到直线u+ v-w=0的距离为2
　　∴w=2+2 或w=2（1-） （舍弃）
　　从图知 wmin=1+，wmax=2+2 故得w的值域为[+1，2+2]
　　注：“以形助数”，其方法的关键是根据题设条件和探求目标，联想或构造出一个恰当的图形，利用图形探索解题途径。“以数解形”主要体现在解析几何中，即所谓解析法。
　　4 复杂问题向简单问题转化
　　很多复杂或陌生或不规范的数学问题，应用变换与转化的思想、换一个角度观察、换一种方式思考、换一种语言叙述。在另一种观点的统帅下对问题本质有更为明确、清晰的理解，达到解决或易于解决的目的。
　　例3已知OA、OB是圆锥底面互相垂直的两条半径，C是母线SB的中点，SA=3 OA=2则A、C两点在圆锥侧面上最短距离是 。
　　解：将圆锥侧面沿母线SA展开成扇形，则线段AC就是所求的最短距离，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为
　　⊙OA⊥OB长度为的 ∴∠ASC=
　　在△ASC中由余弦定理得：AC=
　　注：把空间问题转化变成平面问题，是立体几何中变形主要目标（见图2）。
　　以上三种思想方法都是变化与转化思想的体现，可见变化与转化思想是解答高考题的法宝，必须深刻体会，灵活应用。

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