源于课本的美妙恒等式|三角恒等式
题目:设a,b,c都是不等于1的正数,且ab≠1,求证:alogcb=blogca. 这道题出自苏教版普通高中课程标准实验教科书《数学》必修1的第111页,可推广为:设c>0,且c≠1,a,b>0,则alogcb=blogca.
证明:设logcb=m,logca=n,则cm=b,cn=a.
∴am=cnm=cmn,bn=cmn=cmn.
∴am=bn,即证alogcb=blogca.
一个十分美妙的对数恒等式诞生了!式子的结构体现了数学的对称与和谐,而它在解题中的应用更是让人拍手称“快”.下面试举几例说明一二.
证明:alogaN=N.
解析 直接运用公式:alogaN=Nlogaa=N,即证.由此可见,著名的“对数恒等式”是这个公式的一个特例.
例2 证明换底公式:logab=logcblogca(其中a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1).
解析 由alogcb=blogca根据对数的定义可得:logcb=logablogca=logca·logab.
∴logab=logcblogca.即证.
例3 计算4log25+3log925.
解析 这道题目考查了幂的运算性质、对数运算性质、对数恒等式以及换底公式,有一定的难度.下面用公式给出一个简洁的解法.
解 原式=5log24+25log93=52+2512=25+5=30.
例4 设a=πln10,b=10logπe,试比较a,b的大小.
解析 a=πln10=10lnπ,故只须比较lnπ与logπe,
∵lnπ>lne=1,logπelogπe,
∴10lnπ>10logπe,
∴a>b.
例5 解方程:3logax+3xloga3=2a>0,a≠1.
解 ∵xloga3=3logax,∴原方程可化为3logax+3·3logax=2,
∴4·3logax=2,∴3logax=2,
∴logax=log312,
∴x=alog312,
故原方程的解为x=alog312.
例6 解不等式:12loga(x2-3x+2)>(x2+8)loga12a>1.
解 原不等式可化为:12loga(x2-3x+2)>12loga(x2+2),
∴logax2-3x+21,∴x2-3x+2-2,
又∵x2-3x+2>0,∴x>2或x2或-2
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