数列问题 [谨慎对待数列问题]

　　例 若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，b3，y成等比数列，则的取值范围是 .　　错解： 由题意得a1+a2=x+y，b1b3=xy，所以==2++.因为x，b1，b2，b3，y成等比数列，所以x，y≠0.当x，y同号时，+≥2；当x，y异号时，+≤
　　-2.所以≥4或≤0，即的取值范围是（-∞，0]∪[4，+∞）.
　　错因分析：已知x，b1，b2，b3，y成等比数列，设公比为q（q≠0），则b1=xq，b2=xq2，b3=xq3，y=xq4.由于q可为正也可为负，所以该等比数列相邻两项的正负可能相反也可能相同，而间隔两项的正负却总是保持一致.也就是说，若等比数例{an}的公比为q，则=q2，=q2，即“在等比数列中，奇数项同号，偶数项同号”.所以由x，b1，b2，b3，y成等比数列可判断x，y同号.
　　正解： 由题意得a1+a2=x+y，b1b3=xy，所以==2++.由x，b1，b2，b3，y成等比数列可知x，y同号，所以+≥2，故的取值范围是[4，+∞）.
　　在以上例题中，由于错解忽视了“在等比数列中，奇数项同号，偶数项同号”的性质，导致了解题范围的扩大.那么，数列问题中还会有哪些常见的隐含条件呢？
　　1. 关于数列项数的隐含条件
　　解决数列问题应关注项数n的取值范围.在数列单调性问题、错位相减求数列前n项和问题、累加或累乘求数列通项公式等问题中，常有多个关系式涉及项数n的取值范围，我们应在n原有取值范围的基础上，综合各式中项数n的取值范围进行考虑.一般来说，n的取值范围应为各式中项数n的取值范围的交集.比如，已知数列{an}的前n项和Sn=-an-n-1+2 （n≥1，n∈N*）（①），用错位相减法求{an}的通项公式：当n=1时，由S1=-a1-1+2=a1得出a1=；当n≥2时，Sn-1=-an-1-n-2+2 （②），由①-②可得Sn-Sn-1=an=-an+an-1+n-1 （③）. 这里应注意③式中n的取值范围是①②两式中n的取值范围的交集n≥2，n∈N*.
　　2. 数列的概念、公式和性质中包含的隐含条件
　　（1） 用an=Sn-Sn-1求数列的通项公式时，要注意该式成立的条件是n≥2，切记讨论当n=1时a1=S1的情况.
　　（2） 用等比数列求和公式时，若公比q不为定值，则需判断q是否为1；若根据题意难以判断，则要分q=1和q≠1两种情况分类讨论.
　　（3） 等比数列中各项要么全为正，要么全为负，要么正负交替，绝对不能有零项.
　　（4） 当且仅当ac>0时，a，c两数才存在等比中项±.因此要使a，b，c成等比数列，其充要条件是ac>0且b=±.
　　（5） 判断等比数列的单调性不仅要考虑公比q的情况，有时还需要考虑首项a1的情况.
　　在等比数列{an}中，若公比q1，当a1>0时，{an}为单调递增数列；当a10时，{an}为单调递减数列；当a10时等差数列单调递增，当d<0时等差数列单调递减，当d=0时等差数列为常数列.
　　3. 解题过程中产生的隐含条件
　　（1） 若有多个数组成数列，我们应尽可能对称设元.
　　奇数个数成等差数列，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，公差为d.
　　偶数个数成等差数列，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，公差为2d.
　　奇数个数成等比数列，可设为…，，，a，aq，aq2，…，公比为q.
　　偶数个数成等比数列时，切记不能设为…，，，aq，aq3，…，公比为q2；而应设为…，，，a，aq，aq2，…，公比为q.因为公比不一定为正数.
　　（2） 设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，对于“已知=，求”这类问题，不能设An=2nk，Bn=（n+1）k.因为等差数列前n项和Sn=dn2+a1-dn是关于n的二次函数，所以根据二次函数的特点，应设An=2n·kn，Bn=（n+1）·kn. 求时，可根据公式==求解.
　　【练一练】
　　已知数列{an}满足a1=1，an=a1+a2+a3+…+an-1 （n≥2，n∈N*）. 若ak=100，则k= _____.
　　【参考答案】
　　200 [提示： an=a1+a2+a3+…+an-1 （n≥2，n∈N*） （①），an+1=a1+a2+a3+…+an-1+an （n≥1，n∈N*） （②），②-①得an+1-an=an.等式两边同除以an，可得= （n≥2，n∈N*）（③）.
　　由③累乘可得··…·=··…· （n≥2，n∈N*），即=.又由an=a1+a2+a3+…+an-1 （n≥2，n∈N*）可得a2=a1=1，所以an=1，n=1；，n≥2.因为ak=100，所以k=200.
　　解答本题时，同学们常常会忽略数列项数n的取值范围，由③式=累乘得到···…·=···…·，即an=na1=n，解得k=100.
　　由于在①式中n≥2，在②式中n≥1，所以在③式中n的取值范围应为①②两式中n的取值范围的交集即n≥2，故③式累乘应为··…·=··…·]

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